**定義**

$X(s)=\mathcal{L}[x(t)] = \int_0^{\infty} e^{-st} x(t)\,dt$

#### 簡単なラプラス変換表

| 時間領域の関数 $x(t)$ | ラプラス変換 $X(t)$ |
|:----------------------|:--------------------------------|
| $1$ | $\dfrac{1}{s}$ |
| $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ |
| $t^n \; (n \in \mathbb{N})$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ |
| $e^{at}$ | $\dfrac{1}{s - a} \quad (\operatorname{Re}(s) > a)$ |
| $\sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ |
| $\cos(\omega t)$ | $\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$ |
| $e^{at} \sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$ |
| $e^{at} \cos(\omega t)$ | $\dfrac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}$ |


studyport【公式】

ラプラス変換

以下のように数を縦（列）と横（行）に長方形上に並べたもの

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

また，$i$ 行 $j$ 列にある要素を行列$A$の$(i,j)$成分といい，$a_{ij}$と書く

行列の定義

行列の行において最初に出てくる非0の成分を主成分（pivot）という. 

以下の条件を満たす行列のことを簡約行列と呼ぶ.

①	主成分が全て１で主成分の上下は全て０.

②	主成分は右側の列にあるほど下側にある.

③	零ベクトルである行は非零ベクトルの行（主成分を含む行）より下側にある. 

例: $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

行基本変形によりすべての行列は簡約行列にすることができる. また，その簡約行列は一つに定まる. これを簡約化定理と呼ぶ.

ある行列Aを簡約化したときの主成分の個数を行列の階数$(rank)$といい $rank(A)$ と書く. 
上記の行列では共に $rank=3$ である.




行列の階数(rank)

ラプラス変換後の「入力に対する出力の比」を**伝達関数**といい、$G(s)$と表す。

入力を$u(t)$、出力を$y(t)$とする。

比例要素：$y(t)=ku(t) \ \Rightarrow \ G(s)=k$ 

微分要素：$y(t)=k\dfrac{du(t)}{dt} \ \Rightarrow \ G(s)=ks$

積分要素：$y(t)=k\int u(t)dt \ \Rightarrow \ G(s)=\dfrac{k}{s}$

伝達関数は交流回路や機械制御において応用される。

伝達関数

元の行列の行と列を入れ替えたもの.
 
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

ある行列の転置行列を再び転置したものは元の行列に戻る（再帰性）

さらに, ある行列について，その行列と転置行列が等しくなる時，対称行列という.

転置行列

$0<|x-a|<\delta_0$で定義された関数$f(x):\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ に対してその極限値 $b$ は以下で示される。



$\forall \epsilon >0, \exist \delta >0; \\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon$

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