**定義**

$X(s)=\mathcal{L}[x(t)] = \int_0^{\infty} e^{-st} x(t)\,dt$

#### 簡単なラプラス変換表

| 時間領域の関数 $x(t)$ | ラプラス変換 $X(t)$ |
|:----------------------|:--------------------------------|
| $1$ | $\dfrac{1}{s}$ |
| $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ |
| $t^n \; (n \in \mathbb{N})$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ |
| $e^{at}$ | $\dfrac{1}{s - a} \quad (\operatorname{Re}(s) > a)$ |
| $\sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ |
| $\cos(\omega t)$ | $\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$ |
| $e^{at} \sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$ |
| $e^{at} \cos(\omega t)$ | $\dfrac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}$ |


studyport【公式】

ラプラス変換

ラプラス変換後の「入力に対する出力の比」を**伝達関数**といい、$G(s)$と表す。

入力を$u(t)$、出力を$y(t)$とする。

比例要素：$y(t)=ku(t) \ \Rightarrow \ G(s)=k$ 

微分要素：$y(t)=k\dfrac{du(t)}{dt} \ \Rightarrow \ G(s)=ks$

積分要素：$y(t)=k\int u(t)dt \ \Rightarrow \ G(s)=\dfrac{k}{s}$

伝達関数は交流回路や機械制御において応用される。

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ラプラス変換

伝達関数