部分分数分解を簡単に行う手法である。

$f(x)=A \displaystyle\frac{(x+q_1)(x+q_2)\cdots(x+q_m)}{(x+p_1)(x+p_2)\cdots(x+p_n)} \ \ \ \ (n>m)$

について

$f(x)=\displaystyle\frac{a_1}{x+p_1}+\frac{a_2}{x+p_2}+\cdots+\frac{a_n}{x+p_n}$

としたとき、$a_i=\lim\limits_{s\to -p_i}(x+p_i)f(x)$ によって各$a_i$を簡単に求められる。

分母に$(x+p_i)^k$等の重根を持つ場合は[ヘビサイドの展開定理2](https://www.studyport.jp/p/cm9yj32b30000wd2r8zlbvf37) を参照。


studyport【公式】

Alta

ヘビサイドの展開定理

重根を持つ分母多項式を部分分数分解する。

$f(x)=\dfrac{g(x)}{(x-p_1)^k(s-p_{k+1})\cdots(x-p_n)}$

$=\dfrac{a_{11}}{(s-p_1)^k}+\dfrac{a_{12}}{(s-p_1)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{a_{1k}}{(s-p_1)}+\cdots$

のとき、$s=p_1$ における留数$a_{11}, ...a_{1k}$ は以下で求まる。

$a_{11}=\lim\limits_{x \to p_1}(x-p_1)^kf(x)$

$a_{12}=\lim\limits_{x \to p_1}\dfrac{d}{dx}(x-p_1)^kf(x)$

$a_{13}=\lim\limits_{x \to p_1}\dfrac{d^2}{dx^2}(x-p_1)^kf(x) \ \ \cdots$

検索結果

ヘビサイドの展開定理

ヘビサイドの展開定理２